№1
Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
- Может ли в результате получиться 0?
- Может ли в результате получиться 1?
- Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
№2
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театр мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
- Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
- Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
- Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия 1 и 2 го пункта?
№3
Назовем кусок веревки стандартным, если длина не меньше 168 см, но не больше 175 см.
- Некоторый моток веревки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?
- Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.
№4
Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
- Может ли в результате получиться 0?
- Может ли в результате получиться 1?
- Какое наименьшее возможное значение полученного результата?
№5
Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.
- Может ли число S быть равным 38?
- Может ли число S быть больше 37,05?
- Найдите максимальное возможное значение S.
№6
В ряд выписаны числа: 12, 22, … (N-1)2, N2. Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «-» и находят получившуюся сумму.
Может ли такая сумма равняться:
- 4, если N=12?
- 0, если N=69?
- 0, если N=64?
- 5, если N=90?
№7
Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
- Может ли в этой прогрессии быть три числа?
- Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?