№1
На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
- Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
- Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
- Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k ?
№2
Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящих из целых чисел.
- Может ли S равняться 8?
- Может ли S равняться 1?
- Найдите все значения, которые может принимать S.
№3
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценки – целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг фильма определяется как среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг фильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и считается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
- Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равна 1/25?
- Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равна 1/35 ?
- Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
№4
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
- Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38?
- Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
- На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
№5
- Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
- Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
- Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
№6
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причем и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой‐то юноша отправил какой‐то девушке несколько писем.
- Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
- Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
- Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая‐то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
№7
Из первых 22 натуральных чисел 1,2, …, 22 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.
- Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
- Может ли число k быть равным 11?
- Найдите наибольшее возможное значение числа k.