Аналоги задачи 19 из реальных ЕГЭ по математике за 2014 год. Профильный уровень.

Автор: | 24.05.2017

№1

На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

  1.  Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
  2. Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
  3. Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k ?

№2

Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящих из целых чисел.

  1. Может ли S равняться 8?
  2. Может ли S равняться 1?
  3. Найдите все значения, которые может принимать S.

Решение

№3

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценки – целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг фильма определяется как среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг фильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и считается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

  1.  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равна 1/25?
  2. Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равна 1/35 ?
  3.  Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

№4

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.

  1.  Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38?
  2.  Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
  3. На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

№5

  1.  Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
  2.  Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
  3. Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

№6

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причем и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой‐то юноша отправил какой‐то девушке несколько писем.

  1.  Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
  2.  Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
  3.  Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая‐то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Решение

№7

Из первых 22 натуральных чисел 1,2, …, 22 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.

  1. Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
  2.  Может ли число k быть равным 11?
  3.  Найдите наибольшее возможное значение числа k.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.