№1
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
- Является ли множество {200; 201; 202; …; 299} хорошим?
- Является ли множество {2; 4; 8; …; 2100} хорошим?
- Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?
№2
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a + b и 2a − 1, или a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
- Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
- Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
- Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
№3
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
- Приведите пример последовательных 5 ходов.
- Можно ли сделать 10 ходов?
- Какое наибольшее число ходов можно сделать?
№4
Последовательность a1,a2,a1..an (n > 2) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
- Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
- Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
- Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 10?
№5
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17).
- Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
- Может ли после выигранной партии увеличится показатель «поражений»?
- Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
№6
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
- Приведите пример числа, для которого это частное равно 113/27
- Может ли это частное равняться 125/27
- Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
№7
На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
- Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше (A+B)/2.
- Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно (A+B)/2.
- Найдите наибольшее возможное значение выражения (A+B)/2.
№8
Последовательность a1,a2,a3,a4,a4,a6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mk — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. известно. что M1 = 1, M2 = 2.
- приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 1,6.
- существует ли такая последовательность, для которой M3 = 3?
- Найдите наибольшее возможное значение M3.