Аналоги задачи 19 из реальных ЕГЭ по математике за 2013 год. Профильный уровень.

№1

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n>2)

1. Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
2. Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
3.  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.

Решение

№2

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

1.  Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
2. Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
3. Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

№3

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

1. Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.
2. Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?
3. Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Решение

№4

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

1.  На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?
2.  Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
3. Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли поэтому набору можно однозначно определить задуманные числа?

№5

1.  Чему равно число способов записать число 1292 в виде 1292=a₃*10³ + a₂*10² + a₁*10 + a₀ , где числа a_i — целые, 0 ≤ a_i ≤ 99, i =0,1,2,3 ?
2. Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N=a₃*10³ + a₂*10² + a₁*10 + a₀, где числа a_i — целые, 0 ≤ a_i ≤ 99, i =0,1,2,3 ровно 130 способами?
3. Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде N=a₃*10³ + a₂*10² + a₁*10 + a₀, где числа a_i — целые, 0 ≤ a_i ≤ 99, i =0,1,2,3 ровно 130 способами ?

№6

Каждое из чисел a₁, a₂,…,a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁ = a₁+a₂+…+a₃₅₀,
S₂ = a₁²+a₂²+…+a⁴₃₅₀,
S₃ = a₁³+a₂³+…+a⁴₃₅₀,
S₄ = a₁⁴+a₂⁴+…+a⁴₃₅₀.

Известно, что S₁ = 513.

1. Найдите S4, если еще известно, что S₂ = 1097, S₃ = 3243.
2.  Может ли S₄ = 4547 ?
3.  Пусть S₄ = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

№7

Дано трехзначное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

1.  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 85?
2. Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 84?
3.  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

№8

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

1. Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a² − b² + с² − d² = 27.
2. Может ли быть a + b + с + d = 19 и a² − b² + с² − d² = 19?
3.  Пусть a + b + с + d = 1000 и a² − b² + с² − d² = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.